Leit á vefnum

12.10.2021Náttúrlegar tölur eru tölurnar sem notaðar eru til að telja með: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Þær eru því stundum nefndar talningartölur. Mengi náttúrlegra talna er huglægt hugtak þar sem náttúrlegu tölurnar eru óendanlega margar. Sé staðnæmst við afar stóra náttúrlega tölu má alltaf finna aðra tölu sem er einum hærri en h...

9.11.2000Elstu menningarþjóðirnar, Forn-Egyptar, Majar, Kínverjar og Súmerar, virðast hafa haft hugtakið "núll", en sérstakt tákn var þó ekki notað fyrir það nema stundum til að gefa til kynna eyðu á milli annarra tölustafa. Fyrsta notkun á tölustafnum "0" (það er samsvarandi tákni) á sama hátt og hann er notaður í dag kem...

29.8.2001Í venjulegri rúmfræði er ekki hægt að vera óendanlega nálægt punkti, nema að vera í honum. En það má til dæmis nálgast punkt með því að færast á hverri sekúndu hálfa leiðina til hans. Þá næst aldrei til punktins en með því að taka sér nógan tíma kemst maður hversu nálægt honum sem vera skal. Þetta mætti orða þanni...

24.7.2000Til sérhverrar fullyrðingar, F, svarar önnur, nefnilega fullyrðingin "Það er ekki satt að F" (eða einfaldlega "ekki-F"), sem er sönn þá og því aðeins að F sé ósönn, það er að segja ef F er sönn, þá er ekki-F ósönn, og ef ekki-F er sönn, þá er F ósönn. Því hljóta sannar fullyrðingar að vera nákvæmlega jafnmargar og...

29.7.2011Rétt eins og hefð er orðin að segja að Bach, Mozart og Beethoven séu mestu tónskáld sögunnar, án þess að samkomulag sé um hver eigi fjórða sætið, er löngu orðið til siðs að nefna Arkimedes, Newton og Gauss sem þrjá mestu stærðfræðinga allra tíma. Gauss var þegar í lifanda lífi kallaður princeps mathematicorum, sem...

31.10.2008Í stærðfræði er mengi sagt vera lokað undir einhverri aðgerð ef útkoman úr aðgerðinni er aftur í menginu. Formlega skilgreiningin er svona: Látum X vera mengi, n vera náttúrlega tölu, og b : Xn → X vera vörpun. Þá segjum við að X sé lokað undir b ef að b(x1, ..., xn) er í X, fyrir öll x1, ..., xn í X. Se...

14.7.2008Þessari spurningu er erfitt að svara meðal annars vegna þess að það er ekki fullljóst hvað orðin „eðlilegt“ og „óeðlilegt“ eiga að merkja nákvæmlega. Áður en við veltum því fyrir okkur hvort eitthvað geti verið eðlilegt án þess að eitthvað annað sé óeðlilegt er því við hæfi að íhuga aðeins merkingu orðanna. Í ein...

1.2.2006Til þess að svara því geri ég ráð fyrir að lesandinn þekki hvað tvinntala (e. complex number) er, hvernig grunnaðgerðirnar samlagning, frádráttur, margföldun og deiling eru framkvæmdar á þeim, hvað samfellt fall (e. continuous function) er og að mengi tvinntalnanna myndi sléttu (e. plane) sem er táknuð með \(C\), ...

18.9.2007Til að svara þessari spurningu þurfum við fyrst að vita hvernig hringur er skilgreindur. Í svari Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Hvernig skilgreinir maður hring? segir svo:Hringur eða hringferill er mengi þeirra punkta í sléttu eða plani sem eru í tiltekinni fjarlægð frá gefnum punkti. Sá punktur nefnist...

30.9.2011Formlega er tvíliðustuðullinn $C(n,k)$ skilgreindur sem fjöldi $k$ staka hlutmengja í $n$ staka mengi. Óformlega þýðir þetta að $C(n,k)$ er fjöldi möguleika á að velja $k$ hluti úr safni af $n$ hlutum, þar sem ekki skiptir máli í hvaða röð þessir $k$ hlutir eru valdir. Ef til dæmis velja á $5$ einstaklinga úr $10$...

8.5.2008Mótsögn er í hnotskurn fullyrðing sem bæði játar og neitar því sama. Einföld framsetning gæti verið á þessa leið á táknmáli rökfræðinnar: p ∧ ¬ p (það er p og ekki-p) þar sem breytan p stendur fyrir hvaða staðhæfingu sem er. Ef breytan p stendur til dæmis fyrir staðhæfinguna „Ísland er eyja“ fæst: Íslan...

11.1.2006Orðið hringur í íslensku hefur margar merkingar en spyrjandi er trúlega á höttunum eftir merkingu þess í stærðfræði. Hún er sem hér segir:Hringur eða hringferill er mengi þeirra punkta í sléttu eða plani sem eru í tiltekinni fjarlægð frá gefnum punkti. Sá punktur nefnist miðja eða miðpunktur hringsins. Gefni pu...

6.9.2000Oft er erfitt að lifa sig inn í hugsunarhátt liðinna alda, ekki síst þegar heimildir eru götóttar eins og við á um forngrísku atómsinnana og hugmyndir sem kviknuðu kringum þá. En samkvæmt hugmyndum manna nú á dögum virðist mega skipta spurningunni um lágmarksstærð í tvennt: Er til lágmarksstærð í veruleikanum krin...

13.11.2008Við höfum áður fjallað um náttúrlegar tölur í svari við spurningunni Hvað eru náttúrlegar tölur?. Þær eru ágætar til síns brúks en duga skammt einar og sér. Þess vegna þurfum við meðal annars á heilum og ræðum tölum að halda. Ef við ætlum til dæmis að stunda viðskipti að einhverju ráði, þá verður fljótt þægileg...

24.7.2000Þessa spurningu mætti skilja á tvo vegu, eftir því hvort áherslan er á "svör" eða á "öllu". Í fyrra tilfellinu er vandinn: "Hvað er svar?", en í því seinna er hann: "Ef við vitum hvað 'allt' er, og við vitum hvað telst fullnægjandi 'svar' við því, er þá til svar við hverju atriði úr þessu "öllu"?". Fyrst skulum...